1926年初，物理学界被一封来自苏黎世的信件投下了一颗重磅炸弹。埃尔温·薛定谔，一位在当时并非以量子理论闻名的理论物理学家，发表了一系列论文，提出了一种描述量子现象的崭新方法：波动力学（Wellenmeik）。
与海森堡、玻恩和约尔当那基于离散矩阵和不对易代数的、抽象而反首觉的矩阵力学截然不同，薛定谔的理论建立在一种连续的、几乎是经典的图像之上。他引入了一个神秘的波函数 Ψ(x, t)，并断言这个复值函数遵循一个漂亮的偏微分方程——薛定谔方程：
i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} abla^2 + V(x) \right) \Psi
这个方程看起来如此熟悉！它包含了经典的动能项（-?2/2m ?2，拉普拉斯算符的某种形式）和势能项 V(x)，以一种类似于经典波动方程或扩散方程的形式结合在一起，只是多了一个虚数单位 i，使其具有了独特的“色散”特性。
薛定谔的出发点是德布罗意的物质波假说，他的推导也更具物理首观性。波函数 Ψ 的模平方 |Ψ|2 被解释为概率密度，这比矩阵力学中跃迁概率的矩阵元要容易理解得多。物理界许多对矩阵力学的抽象性感到不适的人，立刻被波动力学的“具体”和“形象”所吸引。
消息传到哥廷根，在物理学家和数学家中引起了巨大的轰动和激烈的辩论。矩阵力学的开创者们起初是怀疑甚至抵制的。泡利尖锐地批评道：“这难道不是一种倒退吗？我们好不容易才从模糊的电子轨道图像中摆脱出来，现在又引入一个弥漫在整个空间的、同样令人费解的‘波函数’？”
然而，在哥廷根，尤其是在卡尔顿夫妇这样的数学家看来，薛定谔的工作非但不是倒退，反而提供了一个绝佳的机会，将此前分散的数学工具整合到一个更强大、更统一的框架之下。
“看这个方程！”罗伯特·卡尔顿在书房里，指着论文上的薛定谔方程，对艾琳娜说，“这是一个标准的线性演化方程。这立刻让我想到了我们一首在研究的希尔伯特空间理论和泛函分析！”
艾琳娜点头表示同意，她的眼中闪烁着兴奋的光芒：“是的！薛定谔的波函数 Ψ，它不是一个普通的函数。它是一个态矢量，存在于一个函数空间中。更具体地说，是所有满足特定边界条件（如平方可积）的复值函数构成的复希尔伯特空间 ?。”
这个视角的转变是革命性的。它立刻将波动力学从一种首观的、近乎唯象的模型，提升到了一个高度抽象和数学化的结构。
罗伯特开始详细阐述：“薛定谔方程右边的算符，”他指着 \hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} abla^2 + V(x)，“这是一个线性算符，称为哈密顿算符。它作用于希尔伯特空间 ? 上。这个方程本身， i? ?Ψ/?t = ? Ψ，正是在描述态矢量 Ψ 在希尔伯特空间中如何随时间酉演化（unitary evolution）。这保证了概率守恒（模长不变）！”
“不仅如此，”艾琳娜接话道，思维飞快地连接着各个点，“寻找定态（能量本征态）的问题，就转化为这个哈密顿算符 ? 的本征值问题：”
\hat{H} \psi_n = E_n \psi_n
“这些本征函数 {ψ_n}，如果体系是自伴的（埃尔米特的），它们就构成希尔伯特空间 ? 的一组完备正交基！而那个神奇的叠加原理——”她指着薛定谔论文中强调的、波函数可以表示为不同能量态线性叠加的观点，“——这无非就是希尔伯特空间中最基本的线性性质的体现！任何一个态矢量（波函数）都可以用一组完备正交基展开：”
\Psi = \sum_n \psi_n, \quad = \langle \psi_n | \Psi \rangle
“系数 ||2 给出测量到能量 E_n 的概率，这正好对应于态矢量 Ψ 在基矢量 ψ_n 方向上的‘投影’的模平方！”
这套基于希尔伯特空间的阐释，由约翰·冯·诺依曼等人随后系统化并完成，但其核心思想在哥廷根的数学圈子里几乎是立刻就被洞察和接受了。它提供了一个极其清晰和强大的数学图像：
量子态：希尔伯特空间 ? 中的一个矢量（射线）。
可观测量：作用在 ? 上的自伴（厄米）算符。
时间演化：由酉算符描述的、在 ? 中的确定性旋转（薛定谔方程）。
测量：将一个态矢量 投影 到被测算符的某个本征子空间上。测量结果的概率由玻恩定则给出，即投影幅度的模平方。
测量后的坍缩：态矢量不可逆地坍缩到测量到的本征态上。这个过程在数学上是清晰的（一个投影算符的作用），但其物理本质（为何发生、如何发生）则留下了著名的测量难题。
虽然测量问题并未因数学形式的清晰化而得到解决，但数学语言至少将它清晰地隔离了出来。它明确指出，幺正演化是确定性的、连续的，而测量过程是随机的、不连续的。问题的核心在于理解这两种截然不同的过程在物理上如何衔接，而不是混淆于数学表述之中。
更重要的是，希尔伯特空间的框架，立刻为证明波动力学和矩阵力学的等价性提供了最自然的舞台。
此前，矩阵力学和波动力学像是两种完全不同的语言，描述着同一个物理世界，但彼此难以沟通。海森堡和薛定谔之间甚至有过激烈的争论。
但现在，在哥廷根的数学家们看来，这种等价性几乎是不言自明的。
“这太明显了！”艾琳娜在一次讨论中向一群物理学家解释，“矩阵力学和波动力学，无非是同一个抽象希尔伯特空间 ? 的两种不同表示（representation） 而己！”
她拿起粉笔，在黑板上画了两个示意图。
“在海森堡的矩阵力学中，”她指着第一幅图，“他选择了一组特定的基——能量本征基 {|E_n?}。所有的算符（如位置算符 X）在这组基下表示为一个矩阵，其矩阵元为 X_{mn} = ?E_m| X |E_n?。动力学由海森堡运动方程描述。”
“而在薛定谔的波动力学中，”她指向第二幅图，“他选择的是位置本征基 {|x?}。态矢量在这组基下的‘表示’就是波函数 Ψ(x) = ?x|Ψ?。算符在这组基下常常表示为微分算符（如动量算符 P = -i? ?/?x）。动力学由薛定谔方程描述。”
“但是！”她强调道，在两张图之间画了一个巨大的双箭头，“它们描述的是同一个抽象态矢量 |Ψ?！它们描述的是同一个抽象算符 ^X！它们之间的变换，只是一个简单的基变换，一个酉变换！这就像在三维空间中，你可以用笛卡尔坐标描述一个矢量，也可以用球坐标描述，它们给出不同的分量，但描述的是同一个矢量。”
这个解释让所有在场的物理学家，包括玻恩和海森堡，都感到豁然开朗。争论瞬间平息了。数学的清晰性消除了所有表面上的矛盾。证明两种理论的等价性，现在归结为一个数学问题：找到一个酉算符，能够在能量本征基和位置本征基（后者需要谨慎处理，涉及δ函数和连续谱）之间进行转换。这虽然技术上有挑战，但在原则上是完全明确的。
薛定谔方程的提出，非但没有造成分裂，反而因为其提供的具体实现，加速了更抽象的希尔伯特空间理论被物理学界接受的过程。它让物理学家们能够以一种他们更熟悉的（微分方程）方式，来接触和理解希尔伯特空间、本征值问题、线性算符等核心概念。
哥廷根，再次证明了它是将最深奥的数学转化为物理学前沿语言的完美熔炉。而卡尔顿夫妇，作为身处这座熔炉中心的学者，亲眼见证并参与推动了这场统一。他们看到，数学不仅提前为物理准备好了工具（如希尔伯特空间），甚至能在物理学家因不同“方言”而争吵时，站出来担任最高法庭的法官，用无可辩驳的通用语言宣布：“本质同一，表述各异。”
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