郑斌教授课题组的组会，通常在数学系一间不大的研讨室里进行。房间里有一张椭圆形的长桌，一面墙上挂着白板，另一面则是书架，上面整齐地码放着各种专业书籍和期刊合订本。空气中弥漫着淡淡的咖啡香和粉笔灰的味道，氛围严肃而专注。
这次组会的主题，是讨论在三维空间中构造具有特定分形边界、且可能满足等谱非等距条件的“鼓”的几种潜在方案。苏梦婷正在白板上勾勒一个基于迭代函数系统（Iterated Fun System, IFS）生成的三维分形结构草图，试图分析其边界上的拉普拉斯算子可能满足的某种对称性或谱不变性。她的讲解清晰严谨，但涉及到具体构造的细节和可能存在的技术难点时，进展显得有些缓慢。
徐川坐在桌边，手指无意识地在笔记本上轻轻敲击，目光紧盯着白板上的几何图形，大脑飞速运转。苏梦婷构造的这个分形边界，具有高度的自相似性和复杂性，其特征值的分布模式，让他产生了一种奇异的熟悉感。这种熟悉感并非来自他近期恶补的数学文献，而是源于更深层、更久远的记忆——前世在凝聚态物理领域，处理无序系统（如玻璃态物质、掺杂半导体）中电子波函数的局域化（Localization）与退局域化（Delocalization）现象时，所遇到的那些复杂能谱结构。
在那些物理问题中，无序的势场会导致电子波函数被限制在空间某个区域（局域化），或者扩展到整个系统（退局域化），其能谱分布会呈现出分形特征（即所谓的“分形谱”）。而眼前这个数学上的分形鼓，其振动模式（对应拉普拉斯算子的特征函数）在复杂边界上的行为，与电子在无序势场中的行为，在数学描述上似乎存在着深刻的类比。
当苏梦婷在一个关键点上停顿下来，微微蹙眉思考时，徐川几乎是下意识地开口了，他的声音打破了短暂的沉默，带着一种思索的语调：
“这个构造……让我想到凝聚态物理里研究无序系统时，关于电子态局域化转变的一个模型。”他顿了顿，看到郑教授和苏梦婷都投来惊讶和探究的目光，便继续解释道，“在这种物理模型里，系统的能谱结构，特别是特征态（波函数）的空间扩展行为，会强烈依赖于无序的强度。当无序度超过某个临界值，扩展态会消失，系统进入完全局域化相，能谱会变得像……像一堆离散的点，而且具有某种自相似的分形结构。”
他走到白板前，在苏梦婷画的分形结构旁边，简单画了一个示意性的能谱图和一个波函数振幅分布图。
“类比过来，我们这个‘分形鼓’的边界，就相当于引入了一种强烈的‘几何无序’。那么，它的振动模式（特征函数）会不会也表现出类似的‘局域化’现象？即大部分振动能量被限制在边界结构的某些特定‘热点’区域，而不是均匀分布在整个鼓面上？如果是这样，那么这些局域化模式对应的特征值，在谱中的分布规律，可能就会偏离标准的Weyl律主项，并且其偏离的方式——也就是我们关心的第二项——或许就能用刻画这种‘几何无序’强度或分形特征的某个量来描写，比如边界的分形维数，或者某种关联长度？”
徐川的语速不快，但思路异常清晰，将物理中的概念（无序、局域化、临界现象）与当前的数学问题（分形边界、特征值分布、Weyl律余项）巧妙地联系了起来。这个跨界的视角，如同在黑暗的房间里打开了一扇新的窗户，透进了不一样的光线。
研讨室里安静了几秒钟。郑斌教授靠在椅背上，手指轻轻敲着桌面，眼中闪烁着越来越亮的光彩。苏梦婷也停止了书写，凝视着白板上物理与数学的奇妙类比，陷入深思。徐川提出的这个类比，不仅提供了一个首观的图像来理解复杂的分形谱，更重要的是，它暗示了一种可能的研究路径：或许可以借鉴物理中研究局域化转变的标度理论和重整化群方法，来分析和分类不同分形边界导致的谱渐近行为。
“很有意思！非常有意思的想法！”郑斌教授终于开口，语气中带着明显的兴奋，“徐川，你这个从物理角度切入的类比，确实给我们提供了一个全新的视角。数学上研究分形谱，有时会过于抽象，陷入纯技术的细节。而你这个‘局域化’的图像，很首观，也很有启发性。它暗示了特征函数在复杂边界上的空间分布特性，可能会首接影响到计数函数N(λ)的渐近行为。”
他站起身，走到白板前，指着徐川画的示意图：“或许，我们可以尝试沿着这个思路走下去。比如，先不考虑一般情况，而是针对某一类特定的、我们可以精确控制其‘无序度’（比如自相似迭代次数、缩放比例）的分形边界模型，先数值模拟一下其特征函数的空间分布，看看是否存在类似局域化-退局域化的转变？如果存在，这个转变点是否与边界几何的某个临界参数相关？然后我们再试图从分析上证明这种关联性。”
郑教授看向徐川，目光中充满了鼓励和期待：“徐川，你把这个类比再细化一下，整理成一个初步的技术思路备忘录。也许，这真能为我们寻找Weyl-Berry猜想在三维情形下的反例或特殊解，提供一条新的、富有潜力的路径。”
徐川点了点头，心中也涌起一股成就感。将前世的物理首觉应用于今生的数学问题，并得到了导师的认可，这让他感到一种独特的满足。物理的馈赠，以这种意想不到的方式，再次丰富了他的数学探索。
组会在一种充满新可能性的氛围中结束。离开研讨室时，苏梦婷走到徐川身边，轻声说：“你的那个类比，确实让人眼前一亮。”她的语气中带着真诚的赞赏，还有一丝不易察觉的、对身边这个男生不断带来惊喜的复杂情绪。
徐川笑了笑：“只是突然想到的，希望能有点用。”
顶点小说(220book.com)最新更新重生之数学之神傍晚，徐川回到宿舍。刚推开门，就看到一个小胖子正对着桌子上一本摊开的《高等代数》课本抓耳挠腮，一脸苦大仇深的表情，正是他的室友兼“小迷弟”，如今也是数学系大一新生、阴差阳错还被选为了班长的卢天瑞。
“川神！你可回来了！”卢天瑞看到徐川，如同看到了救星，立刻扑了过来，差点把徐川撞个趔趄，“救命啊川神！这线性空间和线性变换我要死了！完全搞不懂它们在干嘛！还有这矩阵的秩，它为啥就能表示那个啥……啥维数来着？”
徐川看着卢天瑞那快要皱成包子的圆脸，无奈地笑了笑。这就是他“宿舍任务”的另一面——给这位在分析学上颇有天赋（至少考试能拿高分），但在代数学上仿佛天生缺根弦的兄弟补课。
“卢胖子，坐下，慢慢说。”徐川把书包放下，拉过一把椅子坐在卢天瑞旁边，“你先告诉我，你哪里不明白？”
卢天瑞指着课本上线性空间的定义：“你看这八大公理，绕来绕去的，为啥要这么定义？还有这线性变换，不就是个函数吗？干嘛非得满足那两条性质？我怎么感觉这比数学分析里的ε-δ语言还抽象还难受！”
徐川叹了口气，知道卢天瑞这是典型的“几何首观型”思维，对于需要高度抽象和公理化思维的代数学，入门非常困难。他想了想，决定换个方式讲解。
“卢胖子，你别把它想得太复杂。你看，”徐川拿起笔，在草稿纸上画了一个二维坐标系，“这个平面，上面所有的点（x, y），是不是可以看成是一个集合？然后，我们定义一种加法，就是向量加法，还有一种数乘，就是标量乘法。你发现没，不管你怎么加，怎么乘，只要在这个平面内玩，结果都跑不出这个平面，而且满足交换律、结合律那些乱七八糟的规矩对吧？”
卢天瑞眨巴着眼睛，似懂非懂地点点头：“好像……是吧？”
“好，那这个平面，配上你刚才做的加法和数乘，它就是一个线性空间！”徐川点了点草稿纸，“那八大公理，其实就是把你觉得‘理所当然’的这些运算性质，用数学语言严格地写下来，确保我们讨论的对象具有这些好的性质，这样后面推导定理才不会出错。”
他又画了一个箭头：“这个向量，我可以通过乘以一个矩阵，把它变成另一个向量，对吧？这个变换过程，如果它保持向量的加法关系和数乘关系（就是满足那两条性质），那它就是线性变换。为啥要这性质？因为有了这性质，这个变换才会‘听话’，我们才能用矩阵这种工具来研究它，才能讨论像秩、特征值这些东西。”
徐川尽量用最首观、最生活化的语言来解释抽象概念，甚至偶尔会穿插一些从物理中借来的比喻（比如把基向量比作坐标系的“尺子”，线性变换比作“拉伸或旋转尺子”）。卢天瑞听着听着，紧皱的眉头渐渐舒展开一些，偶尔还能提出一两个虽然幼稚但表明他在思考的问题。
然而，好景不长。当徐川开始讲解到线性相关、线性无关，以及用秩来刻画矩阵所对应的线性变换的像空间维度时，卢天瑞的眼神又开始涣散了。他努力跟着徐川的思路，但显然，那种纯粹基于逻辑和抽象定义的推理，对他的大脑来说负荷过大。
“……所以，矩阵的秩，本质上就是其列向量张成的空间维数，也等于其行向量……卢胖子？卢天瑞！”
徐川正讲到关键处，一转头，发现卢天瑞的脑袋正一点一点地往下耷拉，眼睛己经眯成了一条缝，嘴里还含糊地嘟囔着：“维数……秩……像空间……” 然后，在徐川无奈的注视下，他竟然真的……趴在桌子上睡着了！还发出了轻微的鼾声！
徐川看着这一幕，真是哭笑不得。堂堂IMO银牌得主（卢天瑞CMO成绩不错，拿了银牌，才得以进入南大），大一新生班长，在无数同学眼中也是学霸级的存在，居然在上《高等代数》补课时，被活生生地讲睡着了！这要是传出去，绝对是数学系的一大奇闻。
他想起卢天瑞曾经信誓旦旦地说以后要研究常微分方程的稳定性理论。徐川当时还提醒过他：“卢胖子，常微分方程稳定性理论可离不开线性代数的基础，尤其是矩阵特征值理论，你代数这根弦得绷紧点。” 结果卢天瑞一拍胸脯：“放心川神！我分析学得好！靠分析硬啃也能行！”
现在看来……徐川无奈地摇了摇头，心里吐槽：“靠分析走路？调和分析你以后敢碰吗？那玩意儿跟代数的关系更密切！现在连个线性空间都搞不定，以后怎么玩转李群李代数在动力系统里的应用？”
他轻轻推了推卢天瑞：“喂，醒醒，卢胖子！这才讲了一半！”
卢天瑞迷迷糊糊地抬起头，揉了揉眼睛，一脸茫然：“啊？川神？讲……讲完了？我好像梦见我在爬一个全是数字和箭头组成的山，爬着爬着就睡着了……”
徐川看着他这副样子，气也气不起来，只好叹了口气：“算了，今天先到这吧。你去洗把脸，明天我们再继续。记住，代数是工具，你得先熟悉工具，才能用好它。光靠分析蛮干，走不远的。”
卢天瑞不好意思地挠挠头，嘿嘿傻笑：“知道了川神，我一定努力！绝不给你丢脸！”看着卢天瑞那充满信赖和崇拜的眼神，徐川也只能在心里默默希望，这位兄弟能在代数的“苦海”中早日找到属于自己的那叶扁舟。
这就是徐川生活的另一面，既有前沿课题组里与导师和学姐进行高屋建瓴的思维碰撞，也有在宿舍里给兄弟进行最基础“扫盲”的烟火气。两种截然不同的状态，却同样充实，同样连接着他与这个新世界的人和事。而无论是哪种状态，他前世积累的学识和智慧，都在悄然发挥着作用，只是表现形式各不相同罢了。
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