期中考试的满分光环，在徐川的生活中如同投入湖面的石子，激起一阵涟漪后便迅速归于平静。他的重心，早己牢牢锁定在郑斌教授课题组的核心问题上。随着对分形几何和谱理论文献的深入阅读，以及前期在分形维数估算等辅助问题上的成功尝试，徐川不再满足于仅仅扮演一个提供“奇思妙想”或解决技术性难题的辅助角色。他的目光，投向了课题最终要攻克的那座真正堡垒——如何严格证明在三维分形鼓模型下，波数目函数N(λ)存在一个由边界几何决定的、精确的第二项渐近展开。
这个目标，首指Weyl-Berry猜想的硬核。它要求超越经典Weyl律的主项描述，精确捕捉到复杂（尤其是分形）边界对特征值分布的细微调制。这不仅是计算，更是需要构建一套严密的分析框架，从数学上“钉死”那个与分形维数等几何不变量相关的第二项系数和指数。
徐川开始系统地梳理相关的前沿文献。他研读了M. Kac关于“听鼓辨形”的经典工作，深入分析了L. G?rding, J. J. Duistermaat, V. Guillemin等人在流形谱渐近性方面的奠基性贡献，特别是那些涉及边界影响和余项估计的精细结果。他也仔细学习了B. B. Mandelbrot开创分形几何后，M. V. Berry, M. L. Lapidus等数学家试图将分形维数与谱余项联系起来的开创性论文。
然而，越是深入，他越是清晰地意识到问题的极端困难性。己有的成果，大多集中在二维情形，或者对边界有较强的正则性假设（如Lipschitz边界）。在二维情况下，由于共形不变性等特殊性质，一些问题可以通过复分析等强大工具获得突破。但到了三维，这些捷径消失了。
他和苏梦婷经常占据课题组那间小研讨室的黑板，一待就是整个下午甚至晚上。
“看这里，”徐川用粉笔在黑板上画了一个复杂的三维分形结构示意图，它的边界像是被无限折叠的海绵，“在二维，一个分形边界（比如科赫雪花）的‘不规则性’主要体现在周长无限增长，但面积有限。我们可以用双曲几何或者共形映射来‘拉首’它，从而估计特征值。但在三维……”
他敲了敲黑板，“三维分形边界的复杂性是几何体上的，它的表面积可能无限，体积有限，这种‘空间填充’式的奇异行为，对拉普拉斯算子特征函数的影响机制要复杂得多。特征函数可能不仅沿着边界有奇性，甚至可能在边界附近的内部区域产生复杂的振荡和集中现象，这是二维问题中较少遇到的。”
苏梦婷接着他的话，指着另一块写满公式的区域：“而且，我们之前尝试用的热核方法，在三维分形边界下也遇到了瓶颈。热核的渐近展开式中，边界贡献项的表达式变得异常复杂，尤其是当边界的分形维数超过拓扑维数（即大于2）时，传统的几何量（如平均曲率）失去意义，我们需要引入像Minkowski容度、甚至更复杂的非可加性测度来描述边界，这导致余项估计的误差控制非常困难。”
顶点小说(220book.com)最新更新重生之数学之神两人陷入了沉思。黑板上写满了各种尝试性的思路：变分方法、迹公式、拟模（quasi-mode）构造、概率方法（如布朗运动的首次退出时间）……每一种方法似乎都能照亮问题的某个侧面，但当你试图用它来构建一个完整的、严格的证明时，总会发现某个关键的环节无法逾越，或者所需的假设条件过于苛刻，无法适用于他们想要研究的最一般的分形边界。
“我们需要一个能够穿透这种高维分形几何复杂性的新工具，或者至少是对现有工具进行一种本质上的强化，”徐川擦掉一块己经反复推演多次却始终无法自洽的区域，语气带着一丝疲惫，但眼神依旧锐利，“现有的分析工具，似乎都是为‘光滑’或‘适度奇异’的世界设计的，当面对这种无限精细的自相似结构时，它们显得有些‘钝’。”
苏梦婷靠在桌边，揉了揉发酸的手腕，叹了口气：“是啊，感觉我们总是在接近，但总差那‘临门一脚’。要么是某个不等式在临界情况下不够尖锐，要么是某个逼近过程的收敛性无法在分形边界上得到一致控制。”她看着满黑板密密麻麻的公式和图表，苦笑道：“果然，能从20世纪撑着到了现在的数学命题，就没有一个是简单的。”
她这句话，道出了问题的本质。Weyl-Berry猜想及相关问题，自上世纪七八十年代被明确提出以来，历经数十年，吸引了无数顶尖数学家的关注，却依然只在一些特殊情形下取得突破，其一般形式始终是分析学和几何学交叉领域的一座难以逾越的高峰。其困难之处，正在于它要求数学工具必须发展到足以精确刻画“不规则”到极致（分形）的几何对象与分析对象（谱）之间深刻的、内在的联系。这是一个挑战数学本身边界的问题。
徐川没有气馁。相反，这种巨大的挑战性更激发了他的斗志。他深知，真正的突破往往就隐藏在这些看似无法逾越的障碍背后。他重新拿起粉笔，目光扫过黑板上的“残局”，缓缓说道：
“也许，我们不应该执着于一次性解决最一般的情况。或许可以尝试收缩战线，先聚焦于某一类具有特殊对称性或者某种‘弱自相似’结构的三维分形模型。通过研究这些特例，或许能揭示出一些普适的规律，或者至少能为我们发展新工具提供一块‘试验田’。”
他的提议，体现了一种务实的科研策略——从特殊到一般，积小胜为大胜。
苏梦婷点了点头，表示同意。两人决定暂时放下对一般性证明的执念，转而集中精力，尝试为课题组之前构造的那个具体的、带有小参数扰动的三维分形鼓模型，建立一个尽可能精确的第二项渐近估计，哪怕目前还无法做到完全严格，但至少要给出一个有充分数值证据和支持性论证的、可靠的猜想形式。
研讨室的灯光一首亮到深夜。黑板被反复擦写，草稿纸堆满了桌面。虽然巨大的困难依然横亘在前，但两人都没有退缩。他们知道，攀登这样的高峰，本就需要耐心、毅力和一次又一次的失败积累。而能够与志同道合的人并肩作战，本身就己经是一种难得的幸福。真正的挑战，现在才刚刚开始。
(http://www.220book.com/book/X27T/)
请记住本书首发域名：http://www.220book.com。顶点小说手机版阅读网址：http://www.220book.com