南大的冬日，图书馆成了最温暖的所在。暖气驱散了窗外的寒意，阳光透过高大的玻璃窗，在排列整齐的书架上投下斑驳的光影，空气中混合着旧书页的醇香与新打印纸的墨香。徐川的身影，频繁地穿梭于图书馆的两个截然不同的区域——珍藏古籍与珍贵文献的幽静阅览室，以及摆放着最新期刊和专著的现代化开架书库。
他的研究重心，己然完成了从谱几何到数论的华丽转身。如果说前者是与苏梦婷并肩作战、充满激情碰撞的战场，那么后者，则是他独自潜入深海、与数学史上最伟大的灵魂进行无声对话的朝圣之旅。他的目标清晰而坚定：系统性地掌握解析数论的核心武器，为未来冲击那些困扰人类智慧数百年的经典难题夯实根基。
在他的书桌上，哈代与李特尔伍德合著的经典《数论导引》被翻到了论述“圆法”的核心章节。徐川沉浸其中，指尖缓缓划过那些密集而优美的公式，仿佛能感受到上世纪这两位英国数学巨匠的思维脉搏。
圆法， 这一由哈代与李特尔伍德开创、并经维诺格拉多夫等人发扬光大的强大解析工具，其核心思想深深地吸引着徐川。它巧妙地将数论中典型的加性问题——例如，将一个整数表示为若干个素数之和的可能性问题——转化为了对复平面上指数积分的精密估计。
徐川的笔记本上，画满了单位圆的示意图和复杂的积分路径。他仔细揣摩着如何将诸如“每个充分大的奇数是否可以表示为三个素数之和？”这类问题，转化为对形如
S(\alpha) = \sum_{p \leq N} e^{2\pi i \alpha p}
的三角和进行估计，并最终通过分析其在单位圆上不同区间（主区间和余区间）的积分行为来获取关键信息。
“这本质上是一种深刻的调和分析，”徐川在笔记旁批注道，“它将离散的整数分布问题，映射到了连续的函数空间上进行处理。哈代和李特尔伍德的天才之处，在于他们看到了这种变换背后隐藏的‘稳相’原理——主要贡献来自那些使相位函数变化缓慢的区域（主区间），而其余部分（余区间）的贡献可以有效地被控制。” 这种将数论问题与分析学工具紧密结合的思维方式，让他想起了前世处理物理中路径积分时用到的稳相近似，一种跨越学科界限的奇妙共鸣在他心中激荡。
在深入理解圆法的思想精髓的同时，徐川也清醒地认识到它的局限性。圆法在处理“线性”或“低阶”的加性问题时威力巨大，但对于像哥德巴赫猜想（偶数表为两素数之和）这样的问题，其主区间的贡献难以达到预期，需要极其精细的估计和对可能存在的“例外集”的深刻理解，这至今仍是悬而未决的巨大挑战。
于是，他的目光也投向了数论中的另一大利器——筛法。
从最古老、最首观的埃拉托色尼筛法开始，徐川追溯着这一思想的发展脉络。埃拉托色尼筛法通过逐步筛去合数来寻找素数，其思想朴素而强大，但效率低下且难以进行精确的定量分析。随后，他跳入了更现代的筛法理论，重点研读着维诺格拉多夫筛法和赛尔伯格筛法的相关文献。
赛尔伯格筛法尤其让他着迷。它通过引入一个巧妙的二次型权重函数，并利用柯西不等式等工具，将筛法问题转化为一个极值问题，从而得到了比古典筛法更为精确的上界估计。“这是一种组合与分析的完美结合，”徐川赞叹道，“赛尔伯格通过构造性的方法，巧妙地规避了筛法理论中一些固有的困难，比如‘奇偶性问题’，从而在某些重要问题上得到了里程碑式的改进。” 他仔细推导着赛尔伯格筛法在孪生素数猜想上的应用，虽然它未能彻底解决该猜想，但却将素数对间的距离推进到了一个前所未有的高度，展示了筛法强大的生命力。
他的笔记本上，充满了各种筛函数表达式、不等式推导和关于误差项控制的思考。他比较着不同筛法的优劣，思考着它们各自适用的场景以及可能的改进方向。
然而，徐川的视野并未局限于这些相对经典的解析工具。他的案头，己经开始出现关于朗兰兹纲领的综述性文章和专著。这个试图用自守表示论和代数几何的语言来统一数论、几何与表示论的宏伟计划，其磅礴的气势和深刻的洞察力，让他心潮澎湃。
“朗兰兹纲领，”他在笔记中写道，“它提供了一种全新的视角来看待数论的核心对象，比如伽罗瓦群和狄利克雷L-函数。它暗示了数论中深刻的对称性和对偶性，其最终目标是将看似孤立的数论事实，纳入一个庞大的、互相关联的‘数学宇宙’统一框架之中。” 虽然朗兰兹纲领本身远非他现阶段能够深入涉足的前沿，但理解其基本哲学和愿景，为他未来的研究指明了更宏大的方向。他隐约感觉到，解决那些经典猜想，或许最终需要依赖于这种更高层次的、揭示数学内在统一性的理论。
日复一日，徐川沉浸在数论的海洋中。他的笔记本上密密麻麻地记录着定义、定理、证明思路、自己的推演、以及在不同概念之间建立的联想。有时是关于圆法中指数积分估计的技巧总结，有时是对某种筛函数性质的新发现，有时则是将朗兰兹纲领的某个局部结果与经典问题联系起来的大胆猜想。
这个过程并非总是顺利。数论的深邃和精密常常让他陷入长时间的沉思，为一个技术细节的理解而反复揣摩，为一个证明的巧妙构思而拍案叫绝，也为一个看似不可逾越的障碍而紧锁眉头。但每一次突破，每一次对前人智慧的更深层理解，都带给他巨大的智力愉悦。
苏梦婷偶尔会来到图书馆找他，看到他沉浸在数论的世界里，眼神专注而明亮，便会悄然坐在他对面，处理自己的几何分析问题。有时，她会拿起徐川正在读的书翻一翻，对于朗兰兹纲领这样的宏大叙事，她也会感到好奇。两人会就一些基本的数学哲学问题进行简短的交流，比如数学的统一性，抽象结构与具体问题之间的关系。这种跨越研究领域的思维碰撞，虽然短暂，却往往能带来意想不到的启发。
徐川知道，他现在所做的，是在进行一场漫长而必要的“原始积累”。圆法、筛法这些强大的工具，以及朗兰兹纲领所预示的新范式，是他未来攀登数论高峰的登山杖和路线图。哥德巴赫猜想、孪生素数猜想……这些璀璨的明珠，依然遥远地悬挂在数学的星空深处，但此刻，他正脚踏实地，一步步地夯实着通往那片星空的道路。潜入数论的深海，他感受到的不仅是挑战的艰巨，更是探索未知的无限魅力。
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