1930年，物理学探索的疆域正以前所未有的速度向宏观和微观两个极端猛烈扩张。在微观领域，量子力学和初生的量子场论正在揭示粒子生灭的奇异世界；而在宏观的尽头，人类的视野正勇敢地投向整个宇宙本身。宇宙学，这门曾经近乎哲学思辨的古老学科，正被新的观测和理论武装起来，开始其向现代科学的伟大转型。
这场转型的核心驱动力，来自于埃德温·哈勃在威尔逊山天文台的划时代观测。他不仅确认了“旋涡星云”是远在银河系之外的“岛宇宙”（星系），更重要的是，他通过对星系光谱的系统性研究，发现几乎所有星系的光谱都存在红移，且红移量与星系的距离大致成正比。这就是哈勃定律：宇宙正在膨胀。
这一发现彻底击碎了延续千年的静态宇宙观。它立即为亚历山大·弗里德曼（Alexander Friedmann）和乔治·勒梅特（Gees Lema?tre）等人早先提出的动态宇宙模型提供了坚实的观测基础。爱因斯坦为了维持静态宇宙而引入的“宇宙常数 Λ”，如今看起来像是一个多余的、甚至可能是错误的修正。他后来称此为“一生中最大的错误”。
然而，放弃静态宇宙模型并未让宇宙学问题变得简单，反而开启了一个更宏大、更激动人心的领域。物理学家和数学家们很快意识到，描述一个膨胀中的宇宙，需要一套全新的数学语言和工具。他们不再满足于仅仅求解爱因斯坦场方程得到某个度规，他们开始追问：这个宇宙时空，作为一个整体，其全局的几何和拓扑结构究竟是什么？
正是在这个背景下，哥廷根的思想再次发挥了关键作用。卡尔顿夫妇和他们周围的数学家们，开始将艾琳娜在发展拓扑分类理论时锻造的利器，应用于宇宙学这个终极的“玩具模型”上。
问题的起点是爱因斯坦的广义相对论。在宇宙学尺度上，假设宇宙在空间上是均匀且各向同性的（即宇宙学原理），那么最一般的时空度规可以写为弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规（FLRW度规）：
ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2) \right]
这个度规包含了两个关键部分：
尺度因子 a(t)：描述宇宙如何随时间膨胀（或收缩）。
空间曲率常数 k：取值+1, 0, 或 -1，分别对应三维空间部分的常正曲率（球面几何）、零曲率（平坦欧几里得几何）和常负曲率（双曲几何）。
物理学家们最初关注的是动力学问题：通过物质和能量的分布（即场方程的右边）来确定 a(t) 的演化方程（弗里德曼方程）。但数学家们，尤其是艾琳娜，立刻被这个度规中蕴含的拓扑自由度所吸引。
“k 的取值只决定了空间的局部几何，”艾琳娜在一次关于宇宙学的研讨会上指出，她在黑板上画了一个环面和一个球面，“但正如我们研究流形时所知，具有相同常曲率的空间，其全局拓扑结构并不唯一。最简单的例子：一个平坦的二维平面（k=0），它可以被卷曲成一个环面（Torus），其全局拓扑与无限的欧几里得平面截然不同！”
这个观点让在场的许多物理学家感到新奇甚至困惑。他们习惯于思考局部性质，而“全局拓扑”是一个全新的维度。
罗伯特接着妻子的思路，用更分析的语言解释道：“FLRW度规中的空间部分，是一个极大对称空间。对于 k=+1，最熟悉的模型是三维球面 S3。但对于 k=0，除了无限的欧氏空间 R3，还存在各种紧致的平坦三维流形，例如三维环面 T3（像一个没有边界的三维‘超面包圈’），或更复杂的‘扭曲’环面。对于 k=-1，也存在各种紧致的双曲流形。”
“这意味着什么？”一位天文学家问道，“我们如何知道宇宙是无限的还是像一个超环面？”
“这正是观测的挑战所在！”艾琳娜兴奋地接话，这正是她擅长的领域，“如果宇宙的空间部分是紧致的（如环面），那么它的总体积是有限的。那么，当我们观测遥远星空时，光线可能会沿着宇宙环绕多次，最终回到‘起点’。我们可能会在天空中看到同一个天体的多个幽灵像（ghost images）！或者，大尺度上的星系分布会显示出某种周期性或关联性。”
她开始勾勒如何用她的拓扑工具来分类这些可能性。“我们需要寻找宇宙空间部分的拓扑不变量。对于k=0的平坦情形，基本群 π?(M) 是无穷的，但它的同调群，特别是第一贝蒂数 b?（即‘洞’的数量），可以提供关键信息。一个三维环面 T3 的第一贝蒂数是3，而无限的 R3 的所有贝蒂数都是零。”
“对于k=+1的球形宇宙，”她继续道，“情况更简单。三维球面 S3 是单连通的（π?(S3)=0），并且是所有正曲率空间中体积最小的。任何其他具有正曲率的空间形式（Spherical Spas），都是 S3 的商空间，由某个有限群作用生成。它们的拓扑由这个群决定，其体积是 S3 体积的整数分之一。”
这场讨论将宇宙学的研究视角从单纯的“膨胀动力学”提升到了“时空整体结构”的层面。宇宙学不再仅仅是关于“宇宙有多大年龄”或“它将永远膨胀还是坍缩”，而是关于“宇宙的整体形状”是什么？它是一个无限的、永远延伸的平面？一个自我封闭的、体积有限的超球面？还是一个像游戏《吃豆人》世界那样、边界相连的环形宇宙？
这种思考也反过来重新激发了人们对宇宙常数 Λ 的兴趣。爱因斯坦最初引入它是为了平衡引力，获得静态解。但现在，在动态宇宙的框架下，Λ 获得了新的、更深刻的数学意义。
“宇宙常数 Λ，”罗伯特分析道，“在场方程中是一个常数项。从几何的角度看，它对应于时空的一种内禀的、均匀的‘张力’或‘排斥力’。在FLRW度规中，它首接影响着尺度因子 a(t) 的加速度。一个正的Λ可以导致宇宙的加速膨胀。”
“但更有趣的是，”艾琳娜补充道，“Λ 与宇宙的全局拓扑可能存在深刻的联系。一个具有正曲率（k=+1）的紧致宇宙，其总体积是有限的。那么，Λ 的值可能与这个特征体积尺度存在某种关系。或许，Λ 本身并非一个‘常数’，而是某种更深层几何的涌现现象？”
这些想法在1930年听起来无疑是极其大胆和超前的，它们更像是数学家的思维游戏，而非可检验的物理学。然而，它们为宇宙学注入了强大的想象力和数学严谨性。物理学家们开始意识到，要真正理解宇宙，他们不仅需要爱因斯坦的场方程，还需要来自拓扑学、微分几何和全局分析的复杂工具。
卡尔顿夫妇站在这个交叉点上，感到一种智力上的巨大兴奋。他们看到，微观世界的量子力学催生了希尔伯特空间和算符代数的语言，而宏观世界的宇宙学则呼唤着微分几何和代数拓扑的工具。数学，如同一位精通多种语言的大师，正在为物理学不同尺度的疆域提供着统一的描述框架。
1930年的宇宙学，就像是一个宏伟的“数学玩具”。它允许数学家们将最抽象的拓扑概念应用于最大的可能结构——整个宇宙——之上。虽然当时的观测数据还远不足以区分一个无限宇宙和一个紧致但巨大的环面宇宙，但理论的可能性己经被清晰地勾勒出来。
这为未来的观测宇宙学设定了一个宏伟的目标：不仅要测量宇宙的膨胀速率和物质含量，还要测绘宇宙的整体拓扑。这是一项艰巨的任务，但它源自一个美丽的信念：宇宙不仅是物理的，也是数学的；它的定律不仅写在局部的动力学中，也编码在其全局的几何形状之中。
第一卷的故事，在微观量子世界的激荡和宏观宇宙结构的沉思中，缓缓落下帷幕。卡尔顿夫妇作为这个时代的亲历者和推动者，见证了数学如何从物理学的仆人，成长为引领物理学走向未知领域的先知。他们知道，手中的玩具模型，终有一天会成长为描绘现实宇宙的宏伟蓝图。而他们的旅程，还远未结束。
卡尔顿夫妇的世纪猜想来自“人人书库”免费看书APP，百度搜索“人人书库”下载安装安卓APP，卡尔顿夫妇的世纪猜想最新章节随便看！(http://www.220book.com/book/7YAM/)
请记住本书首发域名：http://www.220book.com。顶点小说手机版阅读网址：http://www.220book.com